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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 vsR5>Vw  
)aRK?qQeH  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. >9am.`  
2/c~W+br  
　　1、三角函数本质： *BVBD N2  
kF`lqc/(  
　　三角函数的本质来源于定义 !;gUX[C?P  
9 (D^o RY9  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ^}Z(P  
@Y":.p> y  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 F).&%M'fE  
_~|{EJ;O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： _mXu4 QD  
$n&w?a  
　　推导： \m)DKnSw  
il!oDb3z  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ,x#P*dpnd}  
fr*c1</)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) r {@sP  
U#;MI}ZjM{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @E^Hsyu  
A\$8/P7  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )@3<qA~*  
e/wvmW|/G  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） }8'ZsN>7  
KJqE2  
　　[1] iIpJAGfc"  
l6]XqhD&  
　　两角和公式 E4`5:  
^[EkWGS(p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB iPPd5X  
)i]4xbok2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ?=mz$;0]  
iM@^Zn  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB \9QNdQkJ(  
`{5+*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 2Sz)e5!0MO  
;s4liG+@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /#2`y  
{(>_Q\rp  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :R?7FCXs~  
tR2BjfsL  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  t)r oLNbO  
JpN_@YI_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tc4D|  
=jx2yMw&(%  
倍角公式 jCh`V~EZ  
s,RM 2gu  
　　Sin2A=2SinA•CosA `41^O m>  
b2etpat8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 \2^ MhW  
02<+tG)\%  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `P)'kGL  
E;ZR${V?R  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） %x<<xtBN%a  
7TyR6C<H  
三倍角公式 < C@q  
e=Y<5*.^  
　　 @6W:l@^5  
"MEW_^2m ;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) M!k [WF  
LY]Z pU  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pgvg]C'8  
(?l+j="c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) W!!];D  
@<[kwo>  
三倍角公式推导 BPVC  
)c4GajHli  
　　sin3a -D0y?n:D  
z<le?^pS  
　　=sin(2a+a) /*vX83l  
;>F~c5  
　　=sin2acosa+cos2asina -?_,Ok"\z  
" 2IX%'  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina mv-<KD4+#  
\( abG   
　　=3sina-4sin³a '%B( S ,  
ZD,&5"h  
　　cos3a k`[ 16z;Ud  
Z/|-m+N'x  
　　=cos(2a+a) BG]O&`0  
gcY U8/  
　　=cos2acosa-sin2asina =H\D4#  
}&8Ks9;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa >fZ@w0/=  
W#cn yt<t  
　　=4cos³a-3cosa yYykK0v1#O  
G92GZx"M!  
　　sin3a=3sina-4sin³a $<FzuK  
tcGoMF   
　　=4sina(3/4-sin²a) V@&-YI  
Dv1l)?z  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] iB&4&n+!d%  
i5h^d.YI  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) zIIeA5 ~)  
MG2LI9  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) uMs0w`@g  
.7 YO"Rh(  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R?HNy:e*>  
F~/$dHh  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) /XVx<\9  
TLI"n3 e   
　　cos3a=4cos³a-3cosa +Dp1^l  
~5mW;=PB  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Y09[Y)n  
s}Aa9n[_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ,9"w@-`u  
]>pEz _"  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pZGU8nZv}  
EZpTlUpBn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ez/h( !i  
ztd3p  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 0Pj@RVL  
S5X8~ZSq  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 4)O Y  
?wqyrao1  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] i3 3 m>  
V[m]_j  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  aCk%#We  
c(P([Mm  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >;6_V|y$  
]d}nYXN  
　　上述两式相比可得 /wVk{0yL  
#m}j@g@'  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3;Nx e-?  
1 +?O<~(A  
半角公式 &stH2P]  
O,p6@j>fl  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); XUR*IJ'WI  
l#g\R^  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3mer dT  
K3 4zE!A  
和差化积 ^=4nrUJ0  
P@OoK; R  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \v/I5Dm[  
>9`9HXA  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <mZ*=^Uz  
a4EyHe['  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \Q!t#\h)c  
,B\8T7  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c15k7  
kT8|?Zz4t  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !2_06L@G[  
Zh++F{st  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) z1?_7  
 n ]&y#  
积化和差 M3wr s ;  
P )8o U<(w  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] //qXK"LP  
Rf-M?Ku-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] gqxjs!Fg&  
0bwm[ #m  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] L!fI$O  
3(DchKPm  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x"JC%*  
[Mq"K}?  
诱导公式 Jr81 u[  
mvKkJ'ZsF  
　　sin(-α) = -sinα q 2nLpVJ  
GU,_rhP  
　　cos(-α) = cosα (.|Q(=J=*9  
|$ ?<-2  
　　sin(π/2-α) = cosα py}c86  
I&IPz)~4  
　　cos(π/2-α) = sinα ^!g>nq_E[  
9hS}XG"g  
　　sin(π/2+α) = cosα :"]<c8Cb  
-+ZA~w}  
　　cos(π/2+α) = -sinα o^1P8.  
^M0 ^A  
　　sin(π-α) = sinα (5<m6YtH.  
 F&I H 7  
　　cos(π-α) = -cosα O$GzBf,  
))5S2"IF  
　　sin(π+α) = -sinα (A Z):;g  
9=PX5X  
　　cos(π+α) = -cosα IK 6sdHu  
h 4Jse~<[  
　　tanA= sinA/cosA t^ni%BqK  
Y{o?8h3\b6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ejcG ;Z  
5*P^ :*  
　　tan（π/2－α）＝cotα WUuG/xO$  
KjIy^(,  
　　tan（π－α）＝－tanα k~|7LV-t  
{; dk,(BR  
　　tan（π＋α）＝tanα qwy6.GHr=  
>o?7^k,kG  
万能公式 L :EaM!  
y\95S2A  
　　 2fl~])+}  
F*qbiQ  
其它公式 VLj:5_.L  
|+ o6 q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ss1T00>=  
9Bpr?x0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Pc4y:b  
w8za2,^mA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 &Bmq1,(CO  
K=b=`Yt  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 iL 7g-b  
J :kt&xR  
　　对于任意非直角三角形,总有 O4,_1: <  
s&RYh674  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC N<eSF|0  
P2^,$23  
　　证: Gx#%6br  
Bt'qEwx#  
　　A+B=π-C i0A+Ilh7  
5d,.t8Rw  
　　tan(A+B)=tan(π-C) wP68 |  
Z< icNA7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Mvc| ]FL  
Q9D 0>Yp  
　　整理可得 z`&S]WB<  
UR&_:klP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC on qrRBb  
C;% e#F  
　　得证 1bbo7"  
JsL)$+O=  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 PL.M%G Y  
vi =6%gNn  
其他非重点三角函数 dTno3  
j</,M  
　　csc(a) = 1/sin(a) {*b0N0q=;  
O)N|ZjV,  
　　sec(a) = 1/cos(a) #G RHn{  
LvnPtJB;4  
　　 nZ2 3%q\  
 `FQM+  
双曲函数 Woi*K3  
g`dA ,lg  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /P SffZkP  
Xr8 4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8"9o2DN6  
AN"pe4C+V  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '}Kp':r  
K?ox~PZeW  
　　公式一： IO}5uDq  
r?o)J#~  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： K/7C3Z  
%Y>$,U 2C  
　　sin（2kπ＋α）= sinα _rJJ)=*  
LK4k'=L@  
　　cos（2kπ＋α）= cosα )Zm_R h  
S`<{&|  
　　tan（kπ＋α）= tanα m:e;jK  
Nd<)r?6JK  
　　cot（kπ＋α）= cotα 2}@){'%<  
0 8{Ml0  
　　公式二： cN"YvvGo  
l.DN;S8I  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 'K&QVarl  
Iqx]Y2&  
　　sin（π＋α）= -sinα T `nI1Xe  
j!v4[k7j  
　　cos（π＋α）= -cosα AF$wM6)l)  
-IfWe\}  
　　tan（π＋α）= tanα C$S}#Af  
0Bl4/yiF  
　　cot（π＋α）= cotα PCVT''nQ\P  
HI(AYE9 o`  
　　公式三： 6m@G3W7L  
KdeS7 "  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： l!v~ 6{F  
Dv'DMpE  
　　sin（-α）= -sinα #u -N>`  
?iCN%_r0O  
　　cos（-α）= cosα R#@vm1X  
hWY=0UM:4Y  
　　tan（-α）= -tanα b!!? v75  
95k <f\NFj  
　　cot（-α）= -cotα KZVJY($ 4  
'bQ. `J+n  
　　公式四： cHb=1R+Nf(  
wMB}b-9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： UIxzJ_>  
%z)`?Fd?  
　　sin（π-α）= sinα +Y w.&  
ydA67!6  
　　cos（π-α）= -cosα  a( ^  
{^?vO?  
　　tan（π-α）= -tanα AejyY"  
NFET:Vi^H  
　　cot（π-α）= -cotα 11 } GLUi  
qPK6$V  
　　公式五： gQGT9VX  
&]Uvz3oq  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %yS=|71~?  
{#?'}W/  
　　sin（2π-α）= -sinα Igg}rQc  
Ek5kVO  
　　cos（2π-α）= cosα PV<*NjV}u  
x<{ <Ac4v  
　　tan（2π-α）= -tanα t>qSV  
M{jfyK_H6  
　　cot（2π-α）= -cotα  ,e[^j<b  
`G6_-fv  
　　公式六： Ln^9]8P!  
cl"$++UW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Pm [ceN:2  
}lg.J. E  
　　sin（π/2+α）= cosα Q09dV"uR  
ebuzOj$'  
　　cos（π/2+α）= -sinα R<:>u&h{  
/h v_mCB  
　　tan（π/2+α）= -cotα ^6<;+o:U  
X8nKo[  
　　cot（π/2+α）= -tanα l9l 5edKY  
2eu;0jUr  
　　sin（π/2-α）= cosα |PI?~|E  
b3BM $  
　　cos（π/2-α）= sinα 'iBt>9z'Q  
$2ewg$!  
　　tan（π/2-α）= cotα Q+b(%cs(us  
^H`Omxu^!  
　　cot（π/2-α）= tanα ;YD:3K*  
i#rAZ&7L  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Yq"B$?_^3  
ggA dD>  
　　cos（3π/2+α）= sinα PoPx+:;  
xA ;c M  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ++ oD'OC  
Jpn #x  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7=2cf2j6&'  
*zuBYK.'  
　　sin（3π/2-α）= -cosα V\_C6 u\  
y%M_] v  
　　cos（3π/2-α）= -sinα gFv$]`n(  
EY8Uw(C  
　　tan（3π/2-α）= cotα unK/!iWCfD  
hQ8W{) M  
　　cot（3π/2-α）= tanα F DK|7o  
I28ms?  
　　(以上k∈Z) 5n7 )o-x  
m^rH{ iHa  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0Z}wvmvr  
UU.l  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 7]N# )^X  
n"ayO'T}H  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KYOnr<<Y  
$Og;D N  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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