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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O`.s {k  
@>E"/tU{O  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. xu)!/NL;G  
Jhm)C|%8  
　　1、三角函数本质： C;PZT!  
} cIF4y*i  
　　三角函数的本质来源于定义 /Gp6NU< zG  
$i `l'L  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 X+!/Ux  
gRF.-ow)  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0[jUkh{||  
S|MsIZ;Y'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： R&`'Tp#`  
`%x*}]=#  
　　推导： _>w Njx4  
] "~OWCJ  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 $.7<1|KO  
mQ.EN]!&  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2e[:iC-p  
? D (b6v  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) NACH[y   
A]T-wfn= p  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z"7b[  
mV(4(q3F6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） * 8>E>$  
U"sE'?6G  
　　[1] #<alKj]6  
7V'J Il  
　　两角和公式 q%Dq_Yc+  
!9vx+wh)  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #g(w}   
gOkKc(r '  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  U*3c/rkwG  
r>>#H8T  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB u&}W]H/k  
F#nokBgD 3  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1GNDzTtCy  
~Z,qT(UO  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f:HZ`XM <  
\Fo[6(R  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Um)Ifc ]`  
W5c?M3#d  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [RJ9Vj?  
o^QJ?ETZ  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) j R$A.  
bn7+`v&  
倍角公式 %X,Q1%mG  
Rhfd4WA#(a  
　　Sin2A=2SinA•CosA MUqOU-  
xYle<X2-.  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8; PYh   
-M(WRLy^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） >cI;O4`/  
U s :g9,  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \\R((brA2  
_r nIVn  
三倍角公式 d."0Q9q  
n0V@k%=<  
　　 ~ _obl06X&  
01]6)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >r:0 KEJ  
Gnjpe\  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) zK'* Z%{*  
R=s0#z  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) @p[(PS i  
USY(  
三倍角公式推导 ENI>fWX  
9g_K}7{>  
　　sin3a bG\?L'B{  
,dZHl]<]4  
　　=sin(2a+a) x)5O.  
_"5q]3V@.x  
　　=sin2acosa+cos2asina sm+5THGR  
8bd5 B  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina J#;0SB,"  
7~HY P}fkI  
　　=3sina-4sin³a }$.;nPdCY  
0cT*Jd  
　　cos3a W% o$~P  
RHz(Z aDx  
　　=cos(2a+a) uq& RiQBI(  
d>'b2)L  
　　=cos2acosa-sin2asina l45# V:$f  
$TX7d"S  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gDS> kf}n~  
sw'E1W  
　　=4cos³a-3cosa {_ X4[  
s1VGz.>S  
　　sin3a=3sina-4sin³a 5vt.? Lg  
ON.Z(r9  
　　=4sina(3/4-sin²a) iq/ps+!  
4ko 8.i  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] (* ;$/J  
CMMcM%?  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) puXC=.F  
$3QtpCjD[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Y;I/w|Z{  
x_Z*X@u  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 3S:Vg`*"r  
-V a-!yC  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) *+2YF"  
E(yxICg.Lx  
　　cos3a=4cos³a-3cosa T0f2Vb_  
c B+1 q  
　　=4cosa(cos²a-3/4) X7imtoYK  
w("<r-a*b  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] f,Tdg%dVS  
4!yG[;0  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) s0)YrqN  
q7 dG.  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /Gc\ ?U  
-Dm%J  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} bHd0xzS  
[1%886  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) HF,jWjT/8  
}&'&U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] PQ%1f:~<"C  
y 0rFfL  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 027IG6hvww  
BC=qo =  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) K47N)3  
:aogsXky&  
　　上述两式相比可得 43PhUcKt  
R6_E+0:`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) EX+qYDu  
*!9tE 4=  
半角公式 `BnR  
.1tkv b;kA  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); rD7t0<<i  
( 7"P0UA  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. pZ] O-4T  
,.&Cz# "t  
和差化积 ~,Dd,,Wv  
:cm,HK  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q:n{3!D7  
.NmGk  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FC]`GBwa  
uD$ IH%rx  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :-135;2  
9EUEa=1YY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #v"SWs3t  
*j [QW  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ({v)u_0S  
5138S  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 3{pO2}n  
?ft%>a*5+V  
积化和差 g!7RjD%  
f={!z tRH  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 4!X M*A{S  
M#n{F<?6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] |>BMhTw6Lr  
v U<=z9]H  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] OP_R6l*s  
t`[AcyrI  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2^7(aZu}  
GS)T)9n?  
诱导公式 7Y`vm>F7  
C;v -7AhP  
　　sin(-α) = -sinα vnVi?[YoT  
fPUX17;d  
　　cos(-α) = cosα c(HySb  
S| 79I  
　　sin(π/2-α) = cosα P5(i& o1K  
=P 9%1v;  
　　cos(π/2-α) = sinα !E 1b ec  
TY0AjD83_  
　　sin(π/2+α) = cosα kE'<PA%a  
^ "6m\  
　　cos(π/2+α) = -sinα Eztc9V`m  
Xm<U[T  
　　sin(π-α) = sinα "CZeB#   
xjwS'sar.  
　　cos(π-α) = -cosα p!0SX\T@  
 v{yGT#b+  
　　sin(π+α) = -sinα Of$D8I-z  
8gO P1  
　　cos(π+α) = -cosα @S'R#S_m!v  
!p@%GlN  
　　tanA= sinA/cosA <(ko}97  
~tq<p[{s  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ?KO/UQ  
MEMoSK#2UX  
　　tan（π/2－α）＝cotα -z awR:  
*3L{  
　　tan（π－α）＝－tanα hw L?LR  
iQo{OT7  
　　tan（π＋α）＝tanα d2n.O8}E]  
ZNS 4  
万能公式 0Hc K(uK  
V.&2w&   
　　 ;LfRh[#m)  
& vl+7"j/  
其它公式 lX4<z7p+  
f"n>fsFuY  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Sa`1M^l#mt  
60^z+G  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 "%(B;X#e  
&N!|@yBl  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  QI*l%  
pK)y3MD  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ?^{3|A b  
n9RdF61\X  
　　对于任意非直角三角形,总有 q 77zmIfh  
<lsyBj  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jU`Mkb  
@QA05Tx'  
　　证: @miPVj  
QAD(]]b#  
　　A+B=π-C -rcE#_`c  
x+(mBG  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 1w{8I(  
zSQ2]@h5  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ELb_)Ify  
&Cv&k]6  
　　整理可得 NMW@=I>Q  
$owkuFW"Z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  q 6Aek  
~oXETz"]"  
　　得证 VC(0PwQ  
vxe#Q~biR  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 p[H$:s  
gj ^i  
其他非重点三角函数 Y[gOalc*  
;f^=WoV  
　　csc(a) = 1/sin(a) >;b& k-  
-eJyH~  
　　sec(a) = 1/cos(a) PbWPfha  
5.]?ZzS  
　　 C(|J |  
O85 O-^4+  
双曲函数 ] ,LC~.C  
p6_}`W  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Aug{d)j  
+{qO%Ycc~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 i'VGK&xdu  
V%tve G2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) sX` VKCl  
^A-*D  
　　公式一： m|w@C d  
"W@"Z;\4n  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： aQj@X}6  
-F!}N9  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6m`X"wuK  
ZB$_% |  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Co`8XQLlMu  
oVC.+8? p  
　　tan（kπ＋α）= tanα nj.xPuTL9  
6x} @ |i+  
　　cot（kπ＋α）= cotα l,<x(.!O>^  
C M/>jIA  
　　公式二： cw-8|}6  
jV]\}'zkD  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： A#B:/`T  
AwQ!H^kb  
　　sin（π＋α）= -sinα :_gjy%Z  
\-SH;0h  
　　cos（π＋α）= -cosα >jNKtkq  
hZ`"-Wu )  
　　tan（π＋α）= tanα HyP^9 ='  
arav/ ^%  
　　cot（π＋α）= cotα y@UeK#x6  
e`A`We  
　　公式三： 6IJjte.2  
%<v@|  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }O+ ]#  
D ot0  
　　sin（-α）= -sinα ob)" @}l?^  
~_ok!K3  
　　cos（-α）= cosα x.S0=>8Qj  
#SdD CX  
　　tan（-α）= -tanα %-YG<N{  
gsN6& "L4  
　　cot（-α）= -cotα !u+nao[u  
:hG$[c^d]K  
　　公式四： *X$Fh.  
(6S0voN  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +U9!8n|no  
;}qOX^L P  
　　sin（π-α）= sinα (+oFB!%:  
TfZ1@+>xn>  
　　cos（π-α）= -cosα op KBxN  
w a=Z:dC  
　　tan（π-α）= -tanα =b_,B H  
VIinRMl]~  
　　cot（π-α）= -cotα b.c;Mcq  
sV (Fg;L  
　　公式五： >Fq-[fe  
0P$p g5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： j@`zN!  
qgZD*VB  
　　sin（2π-α）= -sinα aIj`|  
8]EdVs&fo}  
　　cos（2π-α）= cosα qpKul'> s  
u>%q8z|mC  
　　tan（2π-α）= -tanα hCN`i|pH  
N{3d p#J".  
　　cot（2π-α）= -cotα "Xy` D9:  
`.+yJM  
　　公式六： w$Fi) s  
O4>}Zfd0  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： G( ,9GqEiX  
 9{Ew1  
　　sin（π/2+α）= cosα 9fi\@!  
X~;OfYe\o  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5ZLkl5(z  
I!;)Y  
　　tan（π/2+α）= -cotα k30+C6P%Oe  
%oa<u <  
　　cot（π/2+α）= -tanα tB7 fWm+e$  
[mXrJ'{.vn  
　　sin（π/2-α）= cosα 9h6pFw  
{7a/:9tJ~  
　　cos（π/2-α）= sinα UDM |  
L"( g,T/  
　　tan（π/2-α）= cotα #16;}J;  
i$"BR  
　　cot（π/2-α）= tanα ;:Hd^(Me2  
v6m O71|  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Ei=7)tEO  
gY:[zk`  
　　cos（3π/2+α）= sinα r@4, Q>  
X+abIin  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]59<?A/  
fmk"(2s  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 8i3:>x0=A4  
'?h ] 3H  
　　sin（3π/2-α）= -cosα [ ;z/d   
@Q`"W*5t/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα .oxNT3HY  
w_~BR  
　　tan（3π/2-α）= cotα ;<@&i5l  
_~lr L?5  
　　cot（3π/2-α）= tanα W(^&~B0yj  
X; 7de|  
　　(以上k∈Z) ` @Kb $  
rT2> k~z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 -7s, ^*_%?  
k,8</H'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = f >p^9  
n-'qy.85^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3)$<0FR  
lp O`pF  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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