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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 '3e=+@H$$-  
"w;NH(T,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. N )! [/=  
nf(/M?'b  
　　1、三角函数本质： C$A4jc,c  
%,[I}A f  
　　三角函数的本质来源于定义 %u(  
iS?#c B  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 |}lB }  
#  1~b`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]>N\A6?  
m yU;toZg  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： NtZLfv  
=(. V-?  
　　推导： f.YM]$k|  
@we8H  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 :r-9`l u`P  
_OrPM:"/  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >c#`_/L2  
w\/,H>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) EiB:W*v}xM  
=a(c<# ]  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Q]'i`.!* f  
0; 8c 8p4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） v#3G4!E13  
sDedjjn*8  
　　[1] .8iUj%4m  
R,K}eKa  
　　两角和公式 %6@rTa=&?B  
4@c[oK*$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'K/`*Gz@  
.1|yL}s5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  bt%A7Z|a6  
>?HLJV'3  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9sQY  
&Oe^BH\5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB -wEqMe  
2}D=M,;"  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) -1(4ns `  
c((sB6f{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) b:MZsFr-  
 8J2`P  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  j~c4Lz1)  
+#csTh+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 'l]%EOU!  
zq?GqbXod+  
倍角公式 =iGz` S}  
OD=[=V3  
　　Sin2A=2SinA•CosA );W%l  
Q{XM |}8  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 [@qO@Zi_  
Po 4.)1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） B+D3d=i  
tH[~3\fW  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6hCP8Q3@eB  
k6{qB)pi  
三倍角公式 NDME'P1[z  
;d6X' P <  
　　 NEiayk  
B>s'$ygQ6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) TY50 Y~3#  
X#$)"N]f  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8;Ee@1  
L o}b5fd  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8!~HX/I0r  
`SfATu2-  
三倍角公式推导 pbb/ y/  
mU2P=L,  
　　sin3a ZfIn\854i  
Ek@ 9Na=  
　　=sin(2a+a) 7y.1S\E{  
2q&yJk  
　　=sin2acosa+cos2asina Er% 0d  
A#T6>g`,  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina L(1| /&  
:!9clT,&t  
　　=3sina-4sin³a Y]J^\`  
qNMHO]k$  
　　cos3a 7vYk'i;O  
t!~gQ> L:a  
　　=cos(2a+a) 33eiCm  
:i#v5'W  
　　=cos2acosa-sin2asina b](O'[  
*GBbts  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Q.+C>8 d;  
;;*hDZLu`  
　　=4cos³a-3cosa dw"  K  
>nX6`^S)D  
　　sin3a=3sina-4sin³a \!1JfXl  
FVM+\t6a<  
　　=4sina(3/4-sin²a) |[_qo  
"Hld=:H  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U,.lg 8)  
P4^4#-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) w-"U\uv"3  
Oj%:gP`_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ST`lC~E  
~'rto5X  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [>{|vc$*  
Oiej(T  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) uI2uS6v  
zE/ cbAr  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 3M\6eow.  
QnO{k G~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) qB(s,K&\  
L* m_6|eZ  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] zFA0d  
F+-U=l  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $JGRD kcE  
._U(!D_  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) g1s#hc_.  
?Q   m  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} WE3M,7s  
:O+-X  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &8jX;Z  
dbkF/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6?9K,YOR  
r%Gg^Tv  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] e]=fa~mW$D  
2G!\' p  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) cgH)x{z"U  
8)k: pR  
　　上述两式相比可得 (Cj1HMf  
TZ!{Q-  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) F0uvns&  
*;<OGL$  
半角公式 {[_3'2I  
.i[H.[{Mg  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); sCr]7)Q  
wU-,^)@\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Et{os3rp  
cSW@nLV  
和差化积 4+zd`-^ ld  
N yd+y  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <Hi9HGn_  
dyB _D3M*  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] u- ?B4RHd  
jn~m`NI  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *yiIN{j 8F  
_2\ <f  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x(]uw.Ez  
{;12|y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <ub<"z<px  
X:DPLc  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) !6bZqB\B  
)2I /%!eu  
积化和差 !#*VJ<NM*  
'b<4;#|Cq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !$}2hI? k  
`5%uD+W  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Dm4L?Hi%`7  
aqAy>P[VU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Acsh9bi  
pg@h;,]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] KE,{#wv  
T]eD5{=  
诱导公式 R;0)fHo  
PXKzJ iM+  
　　sin(-α) = -sinα JN:,!P/{ o  
jb_$x/kck  
　　cos(-α) = cosα _gc$ $_4  
@p(@&5 9]$  
　　sin(π/2-α) = cosα uYpAYC%mw  
Z?_{z|F  
　　cos(π/2-α) = sinα `rnFJH.h  
e(,d=Su\KM  
　　sin(π/2+α) = cosα 4h`9uxDC6  
oAA8<=f  
　　cos(π/2+α) = -sinα &U+`qfU  
:Qr+/oA!  
　　sin(π-α) = sinα E/`BS?R[  
#Pzv}zW  
　　cos(π-α) = -cosα 0$#e-xl6#  
I=e}]'>a:  
　　sin(π+α) = -sinα ?7Qrz/  
fr+kMRK  
　　cos(π+α) = -cosα -\smwKGj  
EG2Mh[-Uu  
　　tanA= sinA/cosA Xz U+H=  
*Mn_ 9:iA  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα M1`Cf'  
!d9xQG>~e  
　　tan（π/2－α）＝cotα +Y~|X>;!  
#i~M+iPb  
　　tan（π－α）＝－tanα RwI ps/i  
 ZM}%qA  
　　tan（π＋α）＝tanα - eo,o^?M  
^| +:;q;  
万能公式 jYle`(`  
c @qdYI  
　　 Su&xNiIU  
?!mOk0F*x  
其它公式 +B')2  
HIZ_/vF(  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 EdFrAY5  
^ 2=;t[8  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 |uh:h!V  
,QC:i,1;  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 =[ZUYCqSt  
LVbL@up9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 t{>T@<wH  
lQ.+e/6M  
　　对于任意非直角三角形,总有 UZUwI+TA  
:g z\D+x  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D22*()Dd(  
6$b/$4W~&  
　　证: ^dk%cG&d  
hB1' E(I*"  
　　A+B=π-C Rc oBd  
Kw6?n]jZA  
　　tan(A+B)=tan(π-C) G+5<$Eg  
If-YpJEA  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2q$T9p8  
c!e :{3:  
　　整理可得 4q 5;kwM  
2R<|R}Hb#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [K"QX|+y  
*;Y#Dg  
　　得证 &[Aw;Ch@  
aN"h%X]I/  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 9 ?t@5+Y  
iC`LZ8qJX  
其他非重点三角函数 !q?%2~ !Qb  
jdB7Y}N  
　　csc(a) = 1/sin(a) sTvTpq8  
Jqh^07teM  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^e@XJK  
n@ , ' R  
　　 e78v3Zp9?  
HEy$^3p  
双曲函数 `%B{5i  
>?X8CBcW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Z0ks#S/$Q  
*/#Ab@  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ct SG5sX  
odB* 554  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wOt%c>  
ch| %]  
　　公式一： -Q`' H}  
4 B#@  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： L@fig{  
BSQyuW?X&  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =|xK6%L~  
fBJ?M'w2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &\A]*%9_  
NV`x9CQr  
　　tan（kπ＋α）= tanα _} !%,C'z  
:1ijZPF~  
　　cot（kπ＋α）= cotα HPv*!N  
P#<11>4_  
　　公式二： MD=9gR*w#  
&E):|9a  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： IN(,PV@g,p  
*zz*jOd^K  
　　sin（π＋α）= -sinα %9\}655~  
;m aDVl})  
　　cos（π＋α）= -cosα DW);Zv*<|`  
u_$2"rRI  
　　tan（π＋α）= tanα R@L<x7:q  
3JHX3Z  
　　cot（π＋α）= cotα 7S k}1  
,t? ~!n  
　　公式三： X^-xKUOJ  
2iF\hB1R  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： bex[VHg0L  
d+(A?l  
　　sin（-α）= -sinα $$_HnqI  
qY82u /  
　　cos（-α）= cosα * #``g  
Fg[;NfPt6  
　　tan（-α）= -tanα [9O'n`G^  
[bIRzq=  
　　cot（-α）= -cotα j8yk$[io}  
)` S !N  
　　公式四： hqwE+a#%)  
u!Y4%u(  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;/Bo9\9  
Fc5=wj(  
　　sin（π-α）= sinα 0,"h dzM  
W&PXwOU  
　　cos（π-α）= -cosα ??#}lPev  
Jp&nU`)M6>  
　　tan（π-α）= -tanα hjlH&o  
 ~F {  
　　cot（π-α）= -cotα O7D-c2  
Pw^ e %RC  
　　公式五： -T|W>[:  
=M  H% T  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： JzX*gu6gk  
o6yWT+V S  
　　sin（2π-α）= -sinα &CakNf  
;bQN6Cp{  
　　cos（2π-α）= cosα _<,#c_H  
!gyzj Wp  
　　tan（2π-α）= -tanα Is>%2oA  
S4_gc+BMn  
　　cot（2π-α）= -cotα RVX %UyS  
-McF&mh&  
　　公式六： Ll4%'y H  
$7b+ $wg  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "DLP!FJ_"E  
:!`O %^|p  
　　sin（π/2+α）= cosα toZ oE@0  
FHq;)("Z  
　　cos（π/2+α）= -sinα 9AV"D-|  
%u%c7x  
　　tan（π/2+α）= -cotα g#<o *  
__z=?s>  
　　cot（π/2+α）= -tanα S<<E8Pg\j  
De'DFQef7  
　　sin（π/2-α）= cosα -I4'Tr@M  
j!f'Df_" >  
　　cos（π/2-α）= sinα t'kf{Bv79  
o!tRr  
　　tan（π/2-α）= cotα Y3A(_  
n[ 3<z!@r  
　　cot（π/2-α）= tanα 7bj+ *'Lw  
zI Fe8;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα B?vxMXm='  
+!W6`W|@  
　　cos（3π/2+α）= sinα { Hr7jK  
O m\74l"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα T8tU!+5  
1\-o%T  
　　cot（3π/2+α）= -tanα u=S$6\X*\  
u?6R~O ,  
　　sin（3π/2-α）= -cosα DFsC[M.oG(  
oM]t>4]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα vEs-wztspI  
Kh-O6mD  
　　tan（3π/2-α）= cotα + <5* <  
<L9x}h: 4  
　　cot（3π/2-α）= tanα O7OS 4JSm.  
 D{SqG  
　　(以上k∈Z) ,LR|'G  
]ZiHA+O3R  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 iCI q:jyc  
^  qG<)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = J#$NJ61=  
PA'LWh8"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .*UX^E9  
&<nq  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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